低雷諾數的孔板計量數值模擬及其應用
摘要:以計算流體力學為工具, 詳細分析計算了流體流過孔板的層流流場分布以及壓力降。 計算了 β=d D =0 .5時的流出系數, 并根據計算結果擬合出流出系數與 Re 的關系式。 在以往孔板的層流流場模擬中, 雷諾數不超過 150, 而作者所編的計算程序能夠計算雷諾數從 0 ～ 500 之間所有孔板流場, 從而為實際應用奠定了良好的基礎。
1、引言：
孔板被廣泛地應用在天然氣、化工裝置的流量測量等場所,其優點是幾何形狀簡單、耐用、數據可靠。在孔板計量中 ,流出系數是孔板計量準確程度的主要參數。而隨著計算機技術和流體力學的發展,人們可以通過數值模擬來獲得流出系數。通過孔板流場的數值模擬, 能夠獲得流體流經孔板的全部信息。在實際過程中, 例如向壓縮機添加沖洗油、冷卻水、各種阻聚劑等 , 其流量都比較小, 屬于低流量范圍,即層流 ,且都用孔板控制流量。如何根據孔板壓力差計算出流量, 就成為現場流量控制和調查
事故原因的主要依據 , 也為優化控制提供數據和理論基礎。而實際工作中 ,缺乏流出系數和相關參數。本文正是在這一背景下 , 進行低雷諾數的孔板流場數值模擬 ,即層流模擬。模擬程序對實際應用有著重要的意義。
2、數學模型：
根據孔板的幾何形狀及參數 , 將管路及孔板簡化為如圖1 所示的幾何形狀。
2.1、基本方程：
根據圖 1 幾何形狀 ,流場計算將在軸對稱、圓柱坐標系下進行。假設流體為不可壓縮、等溫。不可
圖 1 孔板及管路簡圖
壓縮二維軸對稱穩態流動的基本方程如下:
壓縮二維軸對稱穩態流動的基本方程
2.2、不可壓縮流體軸對稱流動方程的無量綱化：
假設:X =Dx , R =Dr , P =ρup2 , U =uum , V =uvm ,mRe =ρum D μ,其中 um 為入口平均速度。將上述參
數代入式(1)、(2)、(3),并簡化得:
假設進口速度分布為拋物線分布, 即:
U X =0 ; V =0
| (3)軸對稱邊界 | ||||||||||||||
| R =0 : U R =0 ; V =0 | (9) | |||||||||||||
| (4)壁面條件 | ||||||||||||||
| L1 | ,R =0.5 ,0 ≤X ≤X 1 : | |||||||||||||
| a當 X1 =D | ||||||||||||||
| U =0 , | V =0 | (10) | ||||||||||||
| b當 X1 =L1 | , | 1 | d | <R < | 1 | : | ||||||||
| D | 2 D | 2 | ||||||||||||
| U =0 , | V =0 | (11) | ||||||||||||
| L1 | +h | 1 d | ||||||||||||
| c當 X2 = D | , X1 | <X <X 2 , R | = | : | ||||||||||
| 2 | D | |||||||||||||
| U =0 , | V =0 | (12) | ||||||||||||
| d當 X3 =L1 | +h +L | 2 , X2 ≤X ≤X3 , R =0.5 : | ||||||||||||
| D | ||||||||||||||
| U =0 , | V =0 | (13) | ||||||||||||
2.4、模型的求解：
本文采用區域擴充法 ,將整個計算區域擴充為如圖2 所示。
| 圖 2 | 計算區域網格劃分示意圖 |
| 3 | 計算結果 | ||||||||||
| 3.1 | 流出系數 | ||||||||||
| 不可壓縮流體流經孔板的流量公式為 : | |||||||||||
| (πd2 4) 2 | |||||||||||
| Q =Cd | ρ(p′1 -p′2) (14) | ||||||||||
| 4 | |||||||||||
| 1 | -(d D) | ||||||||||
| 上式中, Q 為不可壓縮流體流經孔板的流量 , ρ為密 | |||||||||||
| 度 , Cd 為流出系數 , p′1-p′2 為流經孔板的壓力差。 | |||||||||||
| 將 Q =πD2 um 4 和 p′1-p′=(2P1 -P2 )ρum2 代入上 | |||||||||||
| 式得: | |||||||||||
| 1 | D | 2 | 4 | 1 | |||||||
| Cd = | 1 -(d D) | (15) | |||||||||
| P1 | |||||||||||
| 2 | d | -P2 | |||||||||
| 式中 ,P 1 、P2 為無量綱壓力。根據無量綱壓力差 ,由 | |||||||||
| 上式即可計算出流出系數。 | |||||||||
| 3.2 數值模擬計算結果與實驗值的比較 | |||||||||
| (1)數值模擬結果的驗證 | |||||||||
| 利用所編制的計算機程序分別計算了文獻[ 1] | |||||||||
| 所給出的 Re 工況。計算結果與文獻[ 1] 的實驗值 | |||||||||
| 比較見表 1 : | |||||||||
| 表 1 流出系數 Cd 與 Re 對應表 | |||||||||
| Re | 2.5 | 5.0 | 10.0 | 25 .0 | |||||
| C d 計算值 | 0.354 3 | 0 .474 9 | 0.586 5 | 0.668 1 | |||||
| 0.341 5 | 0 .462 9 | 0.581 9 | 0.690 0 | ||||||
| C d 實驗值 | |||||||||
| 由數值模擬的結果與實驗結果對比可知:本文 | |||||||||
| 的數據模擬方法及數據是有效和可靠的。 | |||||||||
(2)低雷諾數的流場分布及壓力分布
圖 3 Re =200 流線分布圖 圖 4 軸向壓力分布
3.3、流出系數的計算結果與 Re 的關系式：
流出系數一般是雷諾數、直徑比和孔板幾何尺寸的函數。本文模擬計算雷諾數在 2 .5～ 500 范圍內的流出系數, 計算結果見表 2 :
| 表 2 Cd | 與 Re 關系 | ||||||||
| Re | 2.5 | 5 | 10 | 25 | 60 | ||||
| Cd | 0 .354 | 3 | 0.474 | 9 | 0.586 | 5 | 0.668 | 1 | 0.703 1 |
| Re | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | ||||
| Cd | 0 .716 | 7 | 0.727 | 4 | 0.734 | 9 | 0.738 | 0 | 0.739 5 |
根據上述數據, 采用***小二乘法, 擬合出 :β =d D =0 .5時, Cd 與 Re 的關系如圖 5 。擬合關系式為:
| 3.4 | 應用舉例 | ||||||||
| 1 000 kg m3 | |||||||||
| 已知 d D 0 | 5 | 1 007 | |||||||
| : = ., ρ= | , μ= . × | ||||||||
| 10–3 Pa s | D | 50 mm | 現場測量孔板前后壓差為 | ||||||
| · , | = | , | |||||||
| 0.06 kPa ,計算流量 。 | |||||||||
| 根據式(16)、(15), 假設量 Q =0 .03 m3 h , | |||||||||
| 計算出平均流速 um ,求出 Re , 代入式(16), 計算出 | |||||||||
| 流出系數。將流出系數代入式(14), 計算出一新流 | |||||||||
| 量 Q1 。再將新流量與假設流量比較, 若 Q1 -Q ≤ | |||||||||
| 10–3 ,則 Q1 為所求流量 ;否則, 以 Q1 | 為基準, 重新 | ||||||||
| 假設流量,重復上述過程,直到滿足要求為止。本例 | |||||||||
| ***終計算結果為:Q1 =0 .028 4 m3 h 。 | |||||||||